高考考试数学题型全总结通过对函数概念域、性质的察看，结合函数的分析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+(2-3x)的值域。
点拨：依据算术平方根的性质，先求出(2-3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知(2-3x)0，
故3+(2-3x)3。
函数的知域为.
点评：算术平方根具备双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
本题通过直接察看算术平方根的性质而获解，这种办法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
训练：求函数y=[x](0x5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)
2、反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的概念域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其概念域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其概念域为y1的实数,故函数y的值域为{y∣y1,yR｝。
点评：借助反函数法求原函数的概念域的首要条件条件是原函数存在反函数。这种办法体现逆向思维的思想，是数学解题的要紧办法之一。
训练：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y-1或y1｝)
3、配办法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以借助配办法求函数值域
例3：求函数y=(-x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成平方数，借助二次函数的值求。
解：由-x2+x+20,可知函数的概念域为x[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4[0，9/4]
0-x2+x+23/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要看重对应关系的应用,而且要特别注意概念域对值域的制约用途。配办法是数学的一种要紧的思想办法。
训练：求函数y=2x-5+15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y3})
4、辨别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用辨别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的辨别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)
当y2时,由=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)0，解得：2
当y=2时,方程(*)无解。函数的值域为2
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，因为方程有实数解，故其辨别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。
训练：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y-8或y0)。
5、值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：依据已知条件求源于变量x的取值范围，将目的函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解，解之得-1x3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1x3/2),
z=-(x-2)2+4且x[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故仅需比较边界的大小。
当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。
函数z的值域为{z∣-5z15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。
训练：若x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()
A.(-，+)B.[-7，+]C.[0，+)D.[-5，+)
(答案：D)。
6、图象法
通过察看函数的图象，运用数形结合的办法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+(x-2)2的值域。
点拨：依据值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为-2x+1(x1)
y=3(-1
2x-1(x2)
它的图象如图所示。
显然函数值y3,所以，函数值域[3，+]。
点评：分段函数应注意函数的端点。借助函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的要紧办法。
求函数值域的办法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等办法求函数的值域。
7、单调法
借助函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x-1-3x(x1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=-1-3x,y=f(x)+g(x)，其概念域为x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)=-1-3x,(x1/3),易知它们在概念域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-1-3x
在概念域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y4/3｝。
点评：借助单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
训练：求函数y=3+4-x的值域。(答案：{y|y3｝)
8、换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+2x+1的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，借助二次函数的值，确定原函数的值域。
解：设t=2x+1(t0),则
x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为{y|y-7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的值，从而确定出原函数的值域。这种解题的办法体现换元、化归的思想办法。它的应用十分广泛。
训练：求函数y=x-1x的值域。(答案：{y|y-3/4｝
9、架构法
依据函数的结构特点，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8的值域。
点拨：将原函数变形，架构平面图形，由几何常识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22,
KC=(x+2)2+1。
由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共
线时取等号。
原函数的知域为{y|y5｝。
点评：对于形如函数y=x2+a(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过架构几何图形，由几何的性质，直观明了、便捷简捷。这是数形结合思想的体现。
训练：求函数y=x2+9+(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y52｝)
10、比率法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比率式，代入目的函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比率式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
x=3+4k,y=1+3k,
z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。
函数的值域为{z|z1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比率式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题办法体现很多思想办法，具备肯定的革新意识。
训练：已知x,yR，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)1｝)
十1、借助多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，借助长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
∵1/(x+1)0，故y3。
函数y的值域为y3的所有实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可借助这种办法。
训练：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。(答案：y2)
十2、不等式法
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，依据自变量的取值范围，架构不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
由对数函数的概念知x/(1-x)0
1-x0
解得，0
函数的值域(0，1)。
点评：考查函数自变量的取值范围架构不等式(组)或架构要紧不等式，求出函数概念域，进而求值域。不等式法是要紧的解题工具，它的应用很广泛。是数学解题的办法之一。
以下供训练使用：求下列函数的值域
1.Y=(15-4x)+2x-5;({y|y3｝)
2.Y=2x/(2x-1)。(y1或y0)
注意变量哦
